LA RISOLUZIONE DI PROBLEMI NON LINEARI
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- Scritto da Ing. Marco Dalla Via
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La risoluzione di problemi non lineari
La risoluzione di problemi non lineari
Le cause della non linearità
La trattazione del metodo degli elementi finiti è stata sin qui confinata nell’ambito lineare. La natura dei problemi trattati in questa tesi, tuttavia, si estende ben oltre questo orizzonte, come discusso estesamente nei successivi paragrafi. Ma proprio la versatilità del procedimento e la sua adattabilità alle diverse situazioni rende l’estensibilità della formulazione anche a problemi non lineari il motivo di maggiore fascino ed attrattiva, oltre a costituire, come nel caso specifico, l’unico mezzo per la risoluzione di problemi assolutamente non affrontabili con approcci tradizionali.
In una modellazione agli elementi finiti le sorgenti di non linearità possono essere di tre tipi:
- Non linearità del materiale: esiste una vasta casistica di materiali a comportamento non lineare e molti di essi hanno in aggiunta un comportamentohistory dependent, ovvero la loro risposta ad un dato istante è condizionata da quanto è accaduto precedentemente. Il tipico esempio in tal senso è quello di un materiale plastico, per il quale gli incrementi di deformazione sono condizionati per entità dagli incrementi di tensione che li determinano, ma per direzione e verso dalla posizione del tensore degli sforzi corrente sulla superficie di plasticizzazione e dunque dalla storia tensionale che ha portato all’ultimo incremento.
- Non linearità geometrica: poiché la geometria del modello si modifica sensibilmente nel corso dell’analisi, in molteplici circostanze può porsi la necessità di rimuovere l’ipotesi di piccoli spostamenti, per la quale gli elementi sono formulati nella configurazione di riferimento o originaria, ovvero utilizzando le coordinate nodali originarie. Con questo approccio infatti le eventuali non linearità geometriche sono del tutto ignorate e le relazioni cinematiche comunque linearizzate: gli errori in questa formulazione sono dell’ordine delle deformazioni rispetto all’unità. Se tuttavia le deformazioni indotte dai carichi sulla struttura sono significative gli effetti del secondo ordine possono dimostrarsi assolutamente determinanti, come può essere il caso estremo del collasso per instabilità (buckling bifurcation), di strutture che entrino nell’ambito delle grandi inflessioni e rotazioni o che presentino stati di coazione iniziali o load stiffening.
- Non linearità al contorno: le condizioni al contorno possono mutare nel corso dell’avanzamento dell’analisi. I problemi di contatto sono sorgente assai comune di non linearità nelle analisi tensionali. Essi comportano sviluppo di attrito, repentini cambiamenti dell’interazione tra elementi adiacenti anche a fronte di spostamenti relativi minimali, nonché scorrimenti relativi di entità anche considerevoli per perdita di attrito. Nella generalità dei casi le non linearità di questa natura sono estremamente discontinue. Ciascuna di queste problematiche comporta un’adeguata revisione dell’approccio agli elementi finiti sin qui descritto con la messa a punto di specifiche tecniche di risoluzione. In termini generali, tuttavia, da un punto di vista operativo emergono due nuove istanze. Da un lato la formulazione discreta delle equazioni di equilibrio dei lavori virtuali diviene un sistema di equazioni più o meno non lineari, la cui soluzione è possibile solo per via iterativa. Dall’altro, la soluzione può comportare una dipendenza dalla storia di carico (intesa in senso lato come storia degli eventi che hanno già influenzato lo stato della struttura): le equazioni discrete di equilibrio devono essere dunque risolte su un intervallo di tempo per via incrementale.
- Nella risoluzione agli elementi finiti di problemi non lineari si pongono di conseguenza due questioni fondamentali: la messa a punto di un efficace tecnica numerica per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e la definizione di un opportuno criterio di scelta degli intervalli di tempo su cui operare la soluzione incrementale.
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